Ładowanie kondensatora prądem jednopołówkowym: zmiany ładunku i tętnienia

Pytanie

jak zmienia się ładunek na kondensatorze ładowanym prądem wyprostowanym jednopołówkowo

Odpowiedź Sztucznej Inteligencji

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie

• Ładunek na kondensatorze rośnie impulsowo w krótkich przedziałach dodatniej połówki sinusoidy (kiedy dioda przewodzi), po czym maleje wykładniczo przez resztę okresu, gdy kondensator zasila obciążenie.
• W efekcie mamy cykliczne „ząbki” (tętnienia) ładunku: maksymalny tuż po impulsie ładowania, minimalny tuż przed następnym.

Kluczowe punkty

1. Q(t) = C · U_C(t); analiza ładunku sprowadza się do analizy napięcia.
2. Faza ładowania: szybki wzrost ładunku, ograniczony głównie rezystancją źródła i spadkiem na diodzie.
3. Faza rozładowania: wykładniczy spadek ładunku z stałą czasową τ = R_L · C.
4. Amplituda tętnienia: ΔQ ≈ I_obc / f (przy dużym C w stosunku do okresu).

Szczegółowa analiza problemu

1. Model układu

Źródło AC (U_m sin ωt) → dioda D → (C ∥ R_L). Dioda przewodzi tylko, gdy
U_sin(t) > U_C(t) + V_F.

2. Fazy jednego okresu

1. Ładowanie (0 < t < T/2)
   • Równanie, gdy dioda przewodzi (przybliżenie R_S — rezystancji źródła):
     \[ R_S C \frac{dU_C}{dt} + U_C = U_m \sin(\omega t) - V_F \]
   • W praktyce przewodzenie trwa krótko wokół maksimum sinusoidy; kondensator „dociąga” do
     U_{PEAK} ≈ U_m – V_F.
2. Rozładowanie (T/2 < t < T)
   • Dioda zatkana, prąd płynie tylko w obciążeniu:
     \[ UC(t)=U{C,\text{max}}\,e^{-\frac{t-t_0}{\tau}}, \quad \tau = R_L C \]
   • Ładunek: Q(t)=C·U_C(t); maleje wykładniczo.

3. Stan ustalony

Po kilku okresach pojawia się powtarzalny przebieg:
• U_{C,\text{max}} ≈ U_m – VF
• U{C,\text{min}} zależy od C, R_L, f.
Przy dużym RC (RC ≫ T) spadek jest mały → niewielkie tętnienia.

ΔU_C (przy dużym C, liniowe przybliżenie rozładowania):
\[ \Delta UC \approx \frac{I{obc}}{f\,C} \]
dla prostownika jednopołówkowego częstotliwość f = 50 Hz (Europa).
Stąd:
\[ \Delta Q = C\,\Delta UC \approx \frac{I{obc}}{f} \]

4. Przykład liczbowy

U_m = 15 V, V_F = 0,7 V, R_L = 470 Ω, C = 1000 µF, f = 50 Hz
I_obc ≈ U_avg/R_L ≈ 13 V / 470 Ω ≈ 28 mA
ΔU_C ≈ 28 mA / (50 Hz · 1 000 µF) ≈ 0,56 V
ΔQ ≈ 1 000 µF · 0,56 V ≈ 0,56 mC – tyle ładunku „gubi” kondensator w każdym cyklu.

Aktualne informacje i trendy

• Prostowniki jednopołówkowe są dziś rzadko używane w zasilaczach sieciowych (duże tętnienia, niesymetryczne obciążenie transformatora).
• W zasilaczach małej mocy spotyka się je w ładowarkach indukcyjnych, prostych ładowarkach baterii lub układach, gdzie ważny jest minimalny koszt elementów.
• Standardem są prostowniki dwupołówkowe mostkowe lub układy SMPS z aktywną korekcją współczynnika mocy; tam zastępuje się diody synchronicznymi MOSFET-ami (niższe Vf, mniejsze straty).

Wspierające wyjaśnienia i detale

• Jeśli R_L → ∞ (brak obciążenia) — po pierwszym cyklu Q ≈ C(U_m – V_F) i praktycznie nie maleje (pomijając upływność).
• ESR kondensatora i R_S transformatora determinują czas i szczytowy prąd impulsu ładowania; w zasilaczach sieciowych prąd ten może być kilkanaście razy większy od I_obc.
• Znany przybliżony wzór na napięcie tętnień dla półfali (RC ≫ T):
  \[ V{pp} \approx \frac{I{obc}}{f C} \]
  Dla prostownika pełnofalowego częstotliwość w mianowniku jest 2f.

Aspekty etyczne i prawne

• Praca z napięciem sieciowym (230 V AC) wymaga zgodności z normami PN-EN 62368-1 (bezpieczeństwo urządzeń audio-video/ICT).
• Elektro­litów o dużej pojemności nie wolno wyrzucać do odpadów komunalnych; podlegają recyklingowi.
• Nadmierny prąd szczytowy przy jednopołówkowym prostowaniu obciąża asymetrycznie sieć — w instalacjach profesjonalnych może naruszać wymagania kompatybilności elektromagnetycznej (EMC).

Praktyczne wskazówki

• Dobieraj C tak, by ΔU_C była < 5 % U_avg; dla 50 Hz i I = 0,1 A potrzebne jest C ≈ I/(f ΔU_C).
• Stosuj rezystor „bleeder” 100 kΩ–470 kΩ, który rozładuje kondensator po odłączeniu zasilania.
• Unikaj dużych ESR; w razie potrzeby łącz kondensatory równolegle.
• Jeśli wymagana jest mała pulsacja, rozważ: prostownik pełnofalowy, dławik L-C, regulator liniowy lub przetwornicę impulsową.

Ewentualne zastrzeżenia lub uwagi dodatkowe

• Obliczenia oparte na modelu idealnym nie uwzględniają nieliniowości diody przy małych prądach, prądu wstecznego, nagrzewania oraz starzenia kondensatora (spadek C, wzrost ESR).
• Przy bardzo dużych pojemnościach impuls ładowania może wymagać ogranicznika prądu (soft-start, NTC).

Sugestie dalszych badań

• Symulacja SPICE (np. LTspice) z realistycznym modelem diody i kondensatora (ESR, ESL).
• Analiza harmonicznych prądu sieci w zależności od typu prostownika.
• Porównanie skuteczności różnych topologii filtrów (RC, π, L-C) w redukcji ΔU_C i ΔQ.

Krótkie podsumowanie

Ładunek na kondensatorze w prostowniku jednopołówkowym „pulsuje”: szybko przyrasta w krótkim impulsie, a następnie stopniowo maleje, z czym wiążą się napięciowe tętnienia. Wielkość tych pulsacji zależy głównie od pojemności kondensatora, prądu obciążenia i częstotliwości. Z praktycznego punktu widzenia układy jednopołówkowe traktuje się dziś jako rozwiązanie budżetowe; dla stabilniejszego napięcia stosuje się prostowanie dwupołówkowe lub przetwornice impulsowe.