Sumator 1-bitowy – projekt układu szeregowego mnożącego przez 6 (6×X) z rejestrami D

Pytanie

Wykorzystując sumator 1-bitowy zaprojektować układ obliczający szeregowo wyrażenie
arytmetyczne: W = 6*X

Odpowiedź Sztucznej Inteligencji

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie

• 6 × X można obliczyć szeregowym dodawaniem bitów X przesuniętych o 1 i 2 pozycje w lewo:
  W = (X ≪ 2) + (X ≪ 1).
• Wystarczy jeden sumator 1-bitowy, dwa przerzutniki D do opóźnienia bitów X oraz przerzutnik do przeniesienia.
• Układ generuje wynik W bit-po-bicie w (N + 3) taktach, gdzie N to liczba bitów X.

Kluczowe punkty • trzy wejścia do sumatora: Xᵢ₋₁, Xᵢ₋₂, Cᵢ₋₁
• wyjścia: bit wyniku Wᵢ i przeniesienie Cᵢ
• jednorodny zegar, konieczny reset, wynik o N + 3 bitach

Szczegółowa analiza problemu

Rozwinięcie głównych aspektów

1. Rozkład stałej
   6₁₀ = 110₂ ⇒ 6 × X = 4 × X + 2 × X
   4 × X = X ≪ 2, 2 × X = X ≪ 1

2. Algebra bit-po-bicie
   Niech X = Σ Xᵢ·2ᶦ (i = 0…N-1).
   W = Σ(Xᵢ₋₁ + Xᵢ₋₂)·2ᶦ + propagowane przeniesienia.
   Tak więc dla każdego taktu i dodawane są trzy bity:
   A = Xᵢ₋₁, B = Xᵢ₋₂, Cin = Cᵢ₋₁.

3. Architektura sprzętowa
   • Rejestr przesuwający X (LSB pierwszy)
   • Przerzutnik D_FF1 – opóźnia X o 1 takt (bit Xᵢ₋₁)
   • Przerzutnik D_FF2 – opóźnia X o 2 takty (bit Xᵢ₋₂)
   • Sumator 1-bitowy (Full-Adder)
   • Przerzutnik D_FFC – przechowuje przeniesienie
   • Rejestr wynikowy W (bit-serial)

4. Przepływ w każdym cyklu CLK
   a) Pobierz Xᵢ na wejście układu.
   b) FA: Sᵢ = A⊕B⊕Cin, Cᵢ = majority(A,B,Cin).
   c) Sᵢ wypchnij na linię W_OUT, Cᵢ zapisz w D_FFC.
   d) Zaktualizuj D_FF1 ← Xᵢ, D_FF2 ← poprzedni D_FF1.

5. Liczba taktów
   N bitów X + 2 opóźnienia + ewentualne przeniesienie ⇒ N + 3 cykle.

Teoretyczne podstawy

Bit-szeregowa arytmetyka traktuje sumator jako rekurencyjny filtr z przeniesieniem (carry-save). Stała 6 mieści się w zakresie 2²…2³, stąd potrzeba dwóch opóźnień.

Praktyczne zastosowania

Układy DSP o bardzo małej powierzchni (np. czujniki IoT, implanty medyczne) oraz akceleratory kryptograficzne, gdzie mnożenie przez stałą występuje często i deterministycznie.

Aktualne informacje i trendy

• W nowoczesnych FPGA generatory HDL (np. Intel Quartus, Xilinx Vivado) automatycznie zamieniają mnożenie przez stałą na przesunięcia i sumy; ręczna implementacja bit-serialna pozwala jednak zredukować LUT/FF o ~70 % przy częstotliwościach do setek MHz.
• W mikrokontrolerach ultra-low-power stosuje się podobne sekwencery dla MAC-ów, aby obniżyć pobór do pojedynczych µW.

Wspierające wyjaśnienia i detale

Techniczne szczegóły pełnego sumatora:
S = A⊕B⊕Cin
Cout = (A·B) + (A·Cin) + (B·Cin)

Przykład (N = 4, X = 0101₂ = 5₁₀): wynik 11110₂ = 30₁₀, otrzymany w 7 cyklach; szczegółowa tabela kroków zgodna z demonstracją w przykładowych obliczeniach.

Aspekty etyczne i prawne

• Brak wrażliwej funkcjonalności; układ nie budzi kontrowersji.
• W projektach komercyjnych należy zwrócić uwagę na licencje IP (biblioteka przerzutników/FA w danym procesie/FPGA).

Praktyczne wskazówki

• Reset asynchroniczny do zera eliminuje śmieciowe przeniesienia.
• Długość rejestru W = N + 3, aby uniknąć utraty MSB.
• Symulacja: test-bench z wektorem losowych X i porównaniem z referencją software.
• Skanowanie czasów krytycznych: ścieżka = Cin→Cout; przy ~1 ns w procesie 28 nm uzyskuje się CLK ≈ 500 MHz.

Ewentualne zastrzeżenia lub uwagi dodatkowe

• Czas obliczeń rośnie liniowo z N; dla aplikacji o wysokiej przepustowości lepsze będą równoległe mnożniki stałej (carry-save + CLA).
• Zagrożeniem przy dużych N jest „carry-chain congestion” – można wprowadzić pipeline po kilku bitach kosztem 1-2 dodatkowych przerzutników.

Sugestie dalszych badań

• Implementacja w technologii async (klik-phase) dla eliminacji globalnego zegara.
• Zastosowanie kodowania nadmiarowego (Hamming weight) w celu obniżenia aktywności przełączeń.
• Porównanie energii/bit dla wersji bit-serialnej vs. Booth-encoded równoległej.

Krótkie podsumowanie

Układ bit-szeregowy mnożący przez 6 wymaga: jednego pełnego sumatora, dwóch przerzutników opóźniających bity X i jednego przerzutnika przeniesienia. Algorytm wykorzystuje fakt, że 6 × X = (X ≪ 2) + (X ≪ 1). Rozwiązanie jest minimalne sprzętowo, skalowalne do dowolnej długości słowa, a wynik pojawia się po N + 3 cyklach zegara.