Test t-Studenta: wzory, warianty, interpretacja, Excel, R, Python, Welch, Cohen’s d

Pytanie

Jak obliczyć test t-Studenta? (*nie elektroniczne—pominąłem*)

Odpowiedź Sztucznej Inteligencji

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie

• Wybierz wariant testu (jedna próba, dwie próby niezależne – najlepiej Welch, próby sparowane), policz statystykę t odpowiednim wzorem, określ stopnie swobody df, wyznacz p‑value (lub porównaj z wartością krytyczną dla przyjętego α), podejmij decyzję o odrzuceniu/nieodrzuceniu H0.
• Kluczowe punkty:
  • Dobór testu i hipotez (jedno- vs dwustronna).
  • Sprawdzenie założeń (przybliżona normalność; niezależność; dla klasycznego „pooled” – równość wariancji).
  • Preferuj test Welcha przy dwóch niezależnych próbach (nie wymaga równości wariancji).
  • Zawsze raportuj także przedział ufności i miarę efektu (np. Cohen’s d).

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie Szczegółowa analiza problemu

• Rodzaje testu t:

  • Jedna próba (porównanie średniej z μ0).
  • Dwie próby niezależne:
    • Welch (różne wariancje; domyślny wybór).
    • „Pooled” (wariancje równe).
  • Próby zależne (sparowane; porównanie średniej różnic).

• Hipotezy i kierunek testu:

  • Dwustronny: H1: średnie różne.
  • Jednostronny: H1: średnia większa/mniejsza od porównawczej (określone przed analizą).

• Wzory:

  • Jedna próba:
    \[
    t=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s/\sqrt{n}},\quad df=n-1
    \]
  • Dwie próby niezależne – Welch:
    \[
    t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{\sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}},\quad
    df=\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{\frac{\left(\frac{s_1^2}{n_1}\right)^2}{n_1-1}+\frac{\left(\frac{s_2^2}{n_2}\right)^2}{n_2-1}}
    \]
  • Dwie próby niezależne – „pooled” (równe wariancje):
    \[
    s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2},\quad
    t=\frac{\bar{x}_1-\bar{x}_2}{s_p\sqrt{\frac{1}{n_1}+\frac{1}{n_2}}},\quad df=n_1+n_2-2
    \]
  • Próby sparowane (na różnicach d_i):
    \[
    t=\frac{\bar{d}}{s_d/\sqrt{n}},\quad df=n-1
    \]

• p‑value i reguła decyzyjna:

  • Dwustronny: \(p=2\cdot\big(1-F_t(|t|;df)\big)\).
  • Jednostronny: \(p=1-F_t(t;df)\) lub \(F_t(t;df)\) – zależnie od kierunku H1.
  • Decyzja: jeśli p<α (np. 0,05) → odrzuć H0.

• Przedziały ufności dla średniej/różnicy średnich:

  • Przykład (jedna próba): \(\bar{x}\pm t_{\alpha/2,df}\cdot s/\sqrt{n}\).
  • Dwie próby Welch: \((\bar{x}_1-\bar{x}_2)\pm t_{\alpha/2,df}\cdot \sqrt{\frac{s_1^2}{n_1}+\frac{s_2^2}{n_2}}\).

• Miary efektu (zalecane):

  • Jedna próba / sparowany: \(d=\frac{\bar{x}-\mu_0}{s}\) lub \(d=\frac{\bar{d}}{s_d}\).
  • Dwie próby: Hedges’ g lub Cohen’s d (na s_p lub wariancjach ważonych).

• Założenia:

  • Niezależność obserwacji (kluczowe).
  • Rozkład w przybliżeniu normalny (szczególnie przy małych n; przy większych n działa centralne twierdzenie graniczne).
  • Równość wariancji tylko dla wariantu „pooled”. Gdy wątpliwości → użyj Welcha.

Aktualne informacje i trendy

• W praktyce analitycznej rekomenduje się domyślnie test Welcha dla dwóch grup niezależnych (lepsza kontrola poziomu α przy różnych wariancjach i liczebnościach).
• Raportowanie oprócz p‑value: przedziałów ufności oraz miar efektu; unikanie wyłącznie „p<0,05”.
• Coraz częściej stosuje się metody odporne (np. trimmed means) i korekty na wielokrotne porównania.

Wspierające wyjaśnienia i detale

• Krótkie przykłady liczbowe:

  • Jedna próba: n=10, \(\bar{x}=52\), \(s=8\), \(\mu_0=50\)
    \[
    t=\frac{52-50}{8/\sqrt{10}}=0{,}79,\ df=9
    \]
    Dla testu dwustronnego α=0,05 p≈0,45 → brak podstaw do odrzucenia H0.
  • Dwie próby – Welch:
    n1=12, \(\bar{x}_1=10\), \(s_1=3\); n2=10, \(\bar{x}_2=7\), \(s_2=4\)
    \[
    SE=\sqrt{\frac{9}{12}+\frac{16}{10}}=\sqrt{0{,}75+1{,}6}=1{,}58,\quad
    t=\frac{3}{1{,}58}=1{,}90
    \]
    df z wzoru Welcha ≈ 16. Dwustronnie α=0,05 → p≈0,074 (granicznie, nieistotne).
  • Sparowany: zdefiniuj różnice d_i, policz \(\bar{d}\), \(s_d\), a t jak wyżej.

• Jedno- vs dwustronny: test jednostronny stosuj wyłącznie przy a priori uzasadnionej hipotezie kierunkowej.

Aspekty etyczne i prawne

• Transparentne planowanie analizy (pre‑registration), unikanie p‑hacking i selekcji wyników.
• Dbanie o poufność danych i zgodność z regulacjami (np. RODO/GDPR przy danych osobowych).

Praktyczne wskazówki

• Weryfikacja założeń:
  • Szybkie sprawdzenie rozkładu (wykresy, np. Q–Q); wpływ obserwacji odstających.
  • Nierówność wariancji → użyj Welcha zamiast „pooled”.
• Oprogramowanie:
  • Excel: T.TEST (dwugrupowy), T.DIST.2T/T.DIST.RT; dla jednej próby skorzystaj z T.DIST i ręcznie licz t.
  • R: t.test(x, mu=μ0), t.test(x1,x2, var.equal=FALSE domyślnie Welch, paired=TRUE).
  • Python (SciPy): ttest_1samp, ttest_ind(equal_var=False – Welch), ttest_rel.
• Alternatywy gdy założenia silnie naruszone:
  • Dwie próby niezależne: Mann–Whitney U.
  • Sparowany: Wilcoxon signed-rank.
  • Małe n i/lub odstające: rozważ metody odporne lub bootstrap CI.

Ewentualne zastrzeżenia lub uwagi dodatkowe

• Przy bardzo małych próbach test ma niską moc; interpretuj z ostrożnością.
• Odchylenia od normalności i obecność outlierów mogą silnie zniekształcać wyniki.
• Nierówne liczebności + różne wariancje → unikaj „pooled”.

Sugestie dalszych badań

• Testy odporne (Yuen’s t) i estymacja z przyciętymi średnimi.
• Bayesian t‑test (porównanie rozkładów a posteriori, BF).
• Symulacje/bootstrapping do oceny stabilności wniosków.

Krótkie podsumowanie

• Określ typ testu i hipotezy, oblicz t i df odpowiednim wzorem, wyznacz p‑value lub porównaj z t‑krytycznym, raportuj wynik razem z przedziałem ufności i miarą efektu. W przypadku dwóch niezależnych prób preferuj test Welcha, szczególnie gdy wariancje/liczebności są różne.