Wzory do obliczania transformatora toroidalnego – przekrój, liczba zwojów, moc, straty

Pytanie

wzory na obliczanie transformatora toroidalnego

Odpowiedź Sztucznej Inteligencji

Bezpośrednia odpowiedź na pytanie

• Do obliczeń transformatora toroidalnego stosuje się klasyczne równania transformatora (prawo Faradaya) z uwzględnieniem geometrii torusa.
• Kluczowe wzory:
  • Napięciowy współczynnik zwojowy \(N_V = \dfrac{1}{4{,}44\,f\,B_\text{max}\,A_e}\) [z/V]
  • Uzwojenia: \(N_1 = U_1 N_V,\; N_2 = U_2(1+\delta)N_V\)
  • Przekrój drutu: \(S = I/J\)
  • Weryfikacja wypełnienia okna: \(k_w = \dfrac{\sum N_i S_i}{A_w}\)
  • Moc rdzenia (empirycznie, 50 Hz): \(S_\text{VA} \simeq 1{,}1\,A_e^{1{,}14}\,f^{0,5}\)
• Przy 50 Hz, stal krzemowa: \(N_V \approx \dfrac{1}{222\,B_\text{max}\,A_e}\).

Szczegółowa analiza problemu

1. Geometria i parametry rdzenia

Dla torusa o zewnętrznej średnicy \(D\), wewnętrznej \(d\) i wysokości \(h\):

\[
\begin{aligned}
A_e &=\frac{(D-d)\,h}{2}\quad [\text{m}^2]\
l_e &=\pi\,\frac{D+d}{2}\quad [\text{m}]\
V_e &=A_e\,l_e
\end{aligned}
\]

Współczynniki katalogowe:
– \(k_\text{Fe}\) – wypełnienie blachą (0,9–0,95)
– \(k_\text{Cu}\) – wypełnienie okna miedzią (0,30–0,40 ręcznie; ≤ 0,60 maszynowo).

2. Liczba zwojów

Ogólne równanie Faradaya (wartości skuteczne):

\[
U = 4{,}44\,f\,N\,B_\text{max}\,A_e
\]

Stąd:

\[
NV=\frac{1}{4{,}44\,f\,B\text{max}\,A_e}
\]

Przy \(f=50 \text{Hz}\):

\[
NV\;[\text{zw/V}] \approx \frac{1}{222\,B\text{max}[T]\,A_e[m^2]}
\]

Uzwojenia:

\[
\begin{aligned}
N_1 &= U_1\,NV\cdot(1{,}05)\quad\text{(zapas napięcia sieci)}\
N{2k} &= U_{2k}\,(1+\delta)\,N_V,\;\; \delta=0{,}05\text{–}0{,}10.
\end{aligned}
\]

3. Moc dopuszczalna rdzenia

Uproszczona zależność (wg aktualnych opracowań i [answer online]):

\[
S\text{max}[VA]=\frac{2\,f\,B\text{max}\,Q_r\,Qo\,J\,\eta\,k\text{Fe}\,k_\text{Cu}}{10^{6}}
\]

gdzie \(Q_r=A_e\,[\text{cm}^2],\; Q_o=A_w\,[\text{cm}^2]\).
Daje to szybkie sprawdzenie, czy wybrany rdzeń przeniesie zadaną moc.

4. Prądy i przekroje drutów

\[
S_i = \frac{I_i}{J}, \qquad J = 2{-}3{,}5\,\text{A/mm}^2\;(\text{toroid gorzej chłodzony niż EI})
\]

Średnica (goły drut):

\[
d = 2\sqrt{\frac{S}{\pi}}
\]

5. Sprawdzenie wypełnienia okna

Okno torusa (uśredniony przekrój powierzchni dostępnej na miedź):

\[
A_w \approx \pi\,\frac{d\,h}{2}
\]

Współczynnik wypełnienia:

\[
k_w = \frac{\sum N_i S_i}{A_w}\le 0{,}4\;(\text{ręczne})\;\;0{,}6\;(\text{maszynowe})
\]

6. Straty i nagrzewanie

Straty w rdzeniu (Steinmetz):

\[
P\text{Fe}=k\,f^{\alpha}\,B\text{max}^{\beta}\,V_e
\]

Straty w miedzi:

\[
P_\text{Cu}=I_1^2R1+\sum I{2k}^2R_{2k}
\]

Dobieramy \(B_\text{max}\) tak, by \(P_\text{Fe}+P_\text{Cu}\) pozwalało na temperaturę uzwojeń < 105 °C (klasa F) lub odpowiednią dla zastosowanego izolantu.

7. Indukcyjność rozproszenia (opcjonalnie)

\[
L_\sigma \approx \mu_0\,N_1^2\,\frac{h}{3}\,\ln!\Bigl(\frac{D}{d}\Bigr)
\]

Aktualne informacje i trendy

• Nowe materiały: rdzenie nanokrystaliczne i amorficzne pozwalają zejść z \(B_\text{max}\) do 1,6–1,8 T przy istotnie niższych stratach.
• Rośnie wykorzystanie toroidów ferrytowych w przetwornicach ≥ 20 kHz; wtedy wzory pozostają, lecz \(f\) rośnie o 2–3 rzędy wielkości, a \(B_\text{max}\) spada do 0,2–0,3 T.
• Normy: PN-EN 61558-2-4 (bezpieczeństwo transformatorów toroidalnych), wymusza podwójną izolację i test napięciowy 4 kV.
• Praktyka rynkowa: producenci podają gotowe stałe zwojowe (np. 4,5 zw/V dla 50 Hz przy 1,4 T). Warto je zweryfikować powyższymi wzorami.

Wspierające wyjaśnienia i detale

• Stała 4,44 wynika z całkowania sinusoidy: \(U_{rms}=4,44\,f\,N\,\Phi_\text{max}\).
• Prąd jałowy toroidu jest niski (mała szczelina magnetyczna), ale prąd udarowy przy włączaniu może 20-krotnie przekroczyć prąd znamionowy – stąd układy soft-start (rezystor NTC lub przekaźnik).
• Współczynnik dobroci materiału \(k\) w równaniu Steinmetza zależy od blachy (≈ 0,001-0,005 dla nowoczesnej GO).

Aspekty etyczne i prawne

• Transformator jest elementem separującym – musi spełniać wymogi bezpieczeństwa elektrycznego (LVD, CE).
• Projektant odpowiada za poprawność izolacji i limitowanie temperatury – przegrzanie grozi pożarem.
• Gospodarka zasobami: większy \(B_\text{max}\) zmniejsza zużycie miedzi, ale zwiększa straty – kompromis energooszczędności.

Praktyczne wskazówki

1. Zmierz realne \(A_e\) suwmiarką; odchyłka 0,5 mm zmienia \(N_V\) bardziej niż 1 % – istotne przy niskim napięciu wtórnym.
2. Jeśli \(k_w>0,4\) – zwiększ rdzeń lub obniż \(J\). Nie ufaj „doupchaniu” miedzi – pogorszysz chłodzenie.
3. Na końcu zawsze prototyp: pomiar prądu jałowego, temperatury po 1 h pełnego obciążenia, sprawdzenie napięć.
4. Po stronie pierwotnej stosuj bezpiecznik zwłoczny \(I_f \approx 1,6\,I_1\).

Ewentualne zastrzeżenia lub uwagi dodatkowe

• Wzory empiryczne (moc ~ \(A_e^{1,14}\)) mają ±20 % tolerancji – nie zastępują danych producenta.
• Przy wysokich częstotliwościach należy uwzględnić efekt naskórkowy i pakiety Litz.
• Metody CAD (FEMM, ANSYS Maxwell) pozwalają dokładniej policzyć rozproszenia i temperatury – polecane dla > 1 kW.

Sugestie dalszych badań

• Optymalizacja prądu udarowego toroidu przy użyciu dedykowanych układów SSR+NTC.
• Analiza pracy transformatora przy zniekształconej sieci (harmoniczne ≥ 3).
• Zbadanie wpływu nowych taśm nanokrystalicznych na miniaturyzację toroidów 50 Hz.

Krótkie podsumowanie

Transformator toroidalny projektujemy jak każdy transformator, lecz z korektą na geometrię torusa. Osią konstrukcji jest prawidłowy dobór:

1. przekroju rdzenia \(A_e\) i liczby zwojów na wolt \(N_V\),
2. przekroju drutów zależnego od prądu i dopuszczalnej gęstości \(J\),
3. kontroli wypełnienia okna \(k_w\) i bilansu strat.
   Spełnienie tych warunków, potwierdzone pomiarem prototypu, gwarantuje bezpieczną i wydajną pracę toroidu.